難波先生の『集合論』に載ってる図が面白い件
難波完爾先生の「集合論 (サイエンスライブラリ現代数学への入門３)」
についての@h_kagamiさんのツイートをメモ的に保存。
サイエンス社の本の紹介ページ→http://bit.ly/5gwUHP
@h_kagamiさんのブログでの紹介→http://bit.ly/8WyEej
by masmt
まとめ
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久しぶりに難波先生の「集合論」を眺めた。眺めただけです。150ページの薄さで連続体仮説のZFCからの独立性が証明されているってなんという情報量。 -
難波先生は生物学がお好きなのだろうか。図を見るとそんな感じがする。
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集合の要素が細胞内のいろんな組織みたいなんです。癌細胞みたいなのもあります。
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動脈硬化が心配だ。
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調子に乗ってこれ以上アップすると怒られそうなのでここまでにしておきます。
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ゲーデルの赤本を注文した。http://bit.ly/5IgSq5
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0 極限順序数であり極限基数です。
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無限公理によりはじめて 0 以外の極限順序数 ω の存在が分かります。というか無限公理って ω の存在公理。これにその他の公理、とくにべき集合の公理 (- 置換公理) でいっぱい極限順序数が作れるかというと作れない。0, ω 以外の極限順序数は作れない。ω + ω さえ作れない。
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もっとも「普通」の数学の展開には V_{ω + n} (n=0, 1, 2, 3, 4) 位で十分な場合が多い。なので置換公理は余り注目されない。
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ところが置換公理を採用すると一気に極限順序数の数が増えるというか数えきれなくなる。置換公理はとても強力なのです。
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たかが (というとおこられるが)「2変数の関数的論理式」の「定義域」を集合に制限した場合「値域」も集合となるという妥当な主張と思われるけれど、たったそれだけによる順序数の増え方は異常としか思えない。
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「関数的な論理式」ではなく「集合的な論理式」を使って論理式の1番目の変数を集合に制限した場合2番目の変数のとりうる値は集合であるという主張の方が最初分かりにくいけれど少し便利。
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関数的な論理式 φ(x, y) は各 x に対して φ(x, y) を満たす y がただ一つ存在するということ。集合的な論理式 φ (もしかしてここだけの言葉？) は
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(続き) 各 x に対して φ(x, y) を満たす y 全体が集合になること。
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そろそろ寝ます。おやすみなさい。
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