問題: x^2+1が平方数になる整数xはx=0だけか？

tune3orz※地震に警戒 @tune3orz

x^2 は任意の整数について平方数になる。 では、x^2+1 が平方数になるxはx=1だけなんだろうか？それはどうやったら証明できる？

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というようなことをここ数年考えてたのだが、頭がわるいのでわからない…

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問題: a*x^2 + b*x + c が平方数になる整数xはどうやったら求められるか？

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x^2+1=d^2 と表せたとすると、(d+x)(d-x)=1 だから、(d+x,d-x)=(1,1)または(-1,-1)。すなわち、(d,x)=(1,0)または(-1,0) //

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x^2+2=d^2 と表せたとすると、 (d+x)(d-x)=2 だから、 (d+x,d-x)=(2,1),(1,2),(-2,-1)または(-1,-2) だが、これらを満たす整数(d,x)は存在しない。 よって、x^2+2が平方数になるような整数xは存在しない //

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x^2+3=d^2 (d>=0) と表せたとすると、 (d+x)(d-x)=3 だから、 (d+x,d-x)=(3,1)または(1,3) すなわち、 (d,x)=(2,1)または(2,-1) よって、x^2+3 はx=±1のとき平方数4=2^2となる //

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x^2+4=d^2 (d>=0) と表せたとすると、 (d+x)(d-x)=4 だから、 (d+x,d-x)=(4,1),(1,4),(2,2) これを満たす整数(d,x)は (d,x)=(2,0) よって、x^2+4 はx=0のとき平方数4=2^2となる //

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x^2+8=d^2 (x,d>=0) と表せたとすると、 (d+x)(d-x)=8 だから、 (d+x,d-x)=(8,1),(1,8),(4,2),(2,4) これを満たす整数(d,x)は (d,x)=(3,1) よって、x^2+8 はx=1のとき平方数9=3^2となる //

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x^2+9=d^2 (x,d>=0) と表せたとすると、 (d+x)(d-x)=9 だから、 (d+x,d-x)=(9,1),(1,9),(3,3) これを満たす整数(d,x)は (d,x)=(5,4),(3,0) よって、x^2+9はx=4またはx=0のとき平方数になる //

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以上の考察から、x^2+c の形式は、 c=c1*c2 (c1>=c2) と表したときに、c1+c2が偶数になるものがあれば、平方数となる。 d=(c1+c2)/2 とおくと、平方数の値はd^2。 そのときのxの値は、 d+x=c1, d-x=c2 を解くことにより求まる。

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あ、cが負の場合についての考察が抜けてた

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x^2-1=d^2 (x,d>=0) と表せたとすると、 (x+d)(x-d)=1 だから、 (x+d,x-d)=(1,1) これを満たす整数(x,d)は (x,d)=(1,0) よって、x^2-1はx=1のとき平方数0になる //

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cが負の場合は、cが正の場合のxとdの値を入れ換えたものになる。

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次に、x^2+b*x+c の形式について考察する。

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x^2+2*x+1 = (x+1)^2 だから、x^2+2*x+1 は任意の整数xについて平方数となる。

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x^2+2*x+2 = d^2 (d>=0) と表せたとすると、 (x+1)^2+1 = d^2 x+1=Xとおくと、 X^2+1=d^2 となるから、これを満たす整数(d,X)は、 (d,X)=(1,0) ゆえに、 (d,x)=(1,-1) //

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b=2の場合、 x^2+2*x+c = X^2+C と変形できるから、x^2+cの形式に帰着できる。

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一般に、bが偶数の場合、 x^2+b*x+c = x^2+2*B*X+c = (x+B)^2+(c-B^2) と変形できるから、x^2+cの形式に帰着できる。

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先走ると、a=2のときは判定が難しそう…。 例えば、2*x^2はx=0のとき0になり、他に平方数になるxはなさそう。 2*x^2+1はx=0のとき1, x=2のとき9になるが、他に平方数になるxはないのかと問われるとすぐにはわからない…。

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2*x^2=y^2 を満たす整数x,yが存在したとする。 xもyも0でないとすると、両辺を素因数分解したときに因数2の巾乗が一致しなくなるので、ありえない。 よって、これを満たすのは(x,y)=(0,0)のみ //