【2015.5.5】 ぽよさんの #無限の大きさ に関するツイート群

ぽよ @Poyo_F

#無限の大きさ がホントに面白いんだって事について、ぽよが思う事を以下にちょっとだけ書いてみようと思う。長くなるけど、ごめん。

ぽよ @Poyo_F

小さな弟に兄さんが９個のチョコを分ける時、「同じ数に分けようね」と言って、弟に４個のチョコを渡す。弟は３個までしか数えられないけれど、「ズルい！お兄ちゃんの方が多い！」と言う。一個づつ対応させていくと、一個余るからだ。 #無限の大きさ

ぽよ @Poyo_F

Piraha語の研究 langcog.stanford.edu/papers/FEFG-co… によれば、彼らの言語は自然数を表せないのに、二つのモノの集合のどちらの方が数が多いかについては言い当てられるのだそうだ。やはり、二つの集合の要素を対応させていって「余った方が多い」とやるらしい。 #無限の大きさ

ぽよ @Poyo_F

つまり、 #無限の大きさ について、我々が「偶数と自然数、自然数と整数の要素の数はどっちが多い？」という問いの答えが分からない（無限の要素数を定義できない）状況は、小さな弟や昔のPiraha族と似た状況にあると言うわけ。

ぽよ @Poyo_F

#無限の大きさ の問題は、自然数や偶数は最初のうちは数える事ができても、原理的に数え終えられないということ。数えきるには無限の時間がかかってしまう。「数える事が出来ても数え終えられない」、だから小さな弟が３つ以上を数えられないのとはわけが違う。

ぽよ @Poyo_F

それに、対応付けの方法が何個もあって、「余る要素」があるかどうかも、その方法によってしまう。例えば、１⇔２、２⇔４、３⇔６、・・・ｎ⇔２ｎ、・・・という対応なら、絶対にどちらかが余る事は無いが、１⇔×、２⇔２、３⇔×、４⇔４・・・なら、奇数が丸ごと余ってしまう。 #無限の大きさ

ぽよ @Poyo_F

数学には、公理を設定する時、面白いもの（プロージブルな定義を持つもの）を選ぶというイイカゲンさがある。場合によっては、その面白い定義を見出す事自体が研究対象であるから、それが見つかるまでは研究者の直観がその根拠となっているように思う。だから数学は面白い。 #無限の大きさ

ぽよ @Poyo_F

#無限の大きさ を比較する時、『重複なく対応付けた時、どちらかの要素が余る事が無いような方法が一つでも見つけられたら、２つの集合の大きさは等しい』という定義なら話が実に面白い事になる。#無限の大きさ を比較する時、要素数は無限大なので、代わりに「濃度（カージナリティ）」を使う。

ぽよ @Poyo_F

重複の無い対応で要素にあまりが生じない場合がある時、「一対一対応がある」という。でもって、この定義を使えば、自然数、整数、偶数、奇数、有理数、分数は全て等しい大きさ（＝濃度＝カージナリイティ）を持つという面白い事が起こる。 #無限の大きさ

ぽよ @Poyo_F

重複の無い対応で要素にあまりが生じない場合がある時、「一対一対応がある」という。でもって、この定義を使えば、自然数、整数、偶数、奇数、有理数、分数は全て等しい大きさ（＝濃度＝カージナリイティ）を持つという面白い事が起こる。 #無限の大きさ

ぽよ @Poyo_F

「数える」という操作は、「自然数との対応を付ける」という操作の事なので、自然数と濃度が等しいという事は、「（無限の時間がかかるけれど）数えられる」という事を意味する。そして、自然数よりも大きい濃度であるという事は、、「数えられない」という意味だ。 #無限の大きさ

ぽよ @Poyo_F

「数える」という操作は、「自然数との対応を付ける」という操作の事なので、自然数と濃度が等しいという事は、「（無限の時間がかかるけれど）数えられる」という事を意味する。そして、自然数よりも大きい濃度であるという事は、、「数えられない」という意味だ。 #無限の大きさ

ぽよ @Poyo_F

そして、実数は、どうやっても数えられない。つまり、自然数も実数も無限大の要素数を持つけれど、実数の方が格上の無限集合だという事を示すことができる。この証明には対角線論法という（殆ど）理解しやすい証明法を使う。 #無限の大きさ

ぽよ @Poyo_F

そして、実数は、どうやっても数えられない。つまり、自然数も実数も無限大の要素数を持つけれど、実数の方が格上の無限集合だという事を示すことができる。この証明には対角線論法という（殆ど）理解しやすい証明法を使う。 #無限の大きさ

ぽよ @Poyo_F

対角線論法についての説明は、色々な人が書いているのでキーワードだけにするけれど、ぽよが「（殆ど）」と書いた理由は、一番肝心なトコロは厄介だよと言う事。説明を読む時は「一つも無い」という事をどうやって示すのかに気を付けて読もう。 #無限の大きさ

ぽよ @Poyo_F

更に言うと長さのある線分上の点の濃度と、無限に伸びた数直線の濃度が等しいという事も、有限長の線分と無限長の数直線が、tan(x)関数を眺めて1対1対応のある集合だとすぐに分かる。「線分は数直線に含まれるではないか！」と思うでしょう？これが「面白さ」の一端なの。 #無限の大きさ

ぽよ @Poyo_F

無限時間かかるけれど数えられる∞と、無限時間かけても数えられない∞ の大きさはどちらも普通の数で表せないので、アレフ０、アレフ１と区別するのだけど、その間の∞を持つような中間の濃度を持つ無限集合の例を示すことができない。 #無限の大きさ （←このアレフは某集団とは無関係だよ）

ぽよ @Poyo_F

多くの人の悩みは、アレフ０とアレフ１の間の濃度を持つ集合が、あるかどうかですら証明できないという事。どう見ても自然な集合の定義（ＺＦＣ）では証明できないという事が分かっている。このため、「間の濃度」が無いという仮説は「定理」になれないのだ。 #無限の大きさ

ぽよ @Poyo_F

誰か、この「間の濃度」について皆がスッキリするような無限大の大きさの定義を見つけてみないか？ぽよは、茂木 @kenichiromogi が言うように、小学生でも、こういう思考遊びにワクワクすると思う。それが教育の目的で、ヒトをランク付けする事ではないのだから。 #無限の大きさ

ぽよ @Poyo_F

ところで、こんな事を考えていると、あらためて、「長さ」って何なのか分からなくなってくる。そう言えば、バナナの樽の話、何年も前にツィートしたな。ぽよ的には、長さの数学的定義と脳にとってのクオリアが、とても相性のよいものだと考えているのだけど、それはまた別の話。 #無限の大きさ