群とはなにか？感覚的な説明

サトウヒロシ @satobtc

群論についてはこの本>シンメトリーとモンスター 美しき群論の世界 nomad-ken.com/254 @tyk97さんから

サトウヒロシ @satobtc

1. 群論というと、超むずかしいように思えるが、日本語がわるいので、英語でいうと、Groupだ。グループ。そうかんがえると大したことないようにおもえるから不思議だ。 Gourpなので、ようするに、いくつかの要素があつまってグループをつくっているものを対象に研究するというものである

サトウヒロシ @satobtc

2. Group（群）は、定義自体は、非常に抽象的な概念なのでほとんどなんでも当てはまるんだけど、いちばん重要なイメージをいうと、世界が閉じているというかんじだ。閉じてる感がだいじなのである。

サトウヒロシ @satobtc

3. よるルービックキューブが引き合いにだされるけど、あれは閉じた世界。キューブの取りうる状態の組み合わせはたくさんあるけど、回転操作をするかぎりにはそれには限界がある。そしてどの状態も回転操作の組み合わせで到達できるし、どういう状態からでも適切に回転すれば６面揃う。

サトウヒロシ @satobtc

4. ま、そんな感じで、キューブの回転が「演算」で、キューブの状態が取りうる要素の数、空間、といったかんじだろう。 で、ルービックキューブは、ばらして変に組み替えない限り、かならず回転をくみあわせることで、すべてのキューブの状態がつくれる。これがGroupということ

サトウヒロシ @satobtc

5. 定義の上ではいろいろあるけど、感覚的に把握するなら、ルービックキューブのたとえがわかりやすい。状態が有限で、操作があって、操作によってすべての状態をつくることができ元にもどせる。操作は１種類。というかんじ。こういう条件の集合と操作を「group」というわけです

サトウヒロシ @satobtc

6. Gourpは、とても定義が緩いので、そういう性質をもった現象は、数学のなかにも物理のなかにも、自然界にもたくさんあるわけです。そういうグループの振る舞いを、いろいろ研究するのが群論なのですが、あまりに抽象的でなかなか普通はやりません。

サトウヒロシ @satobtc

7. 無限にある群にも種類があって、無限群、有限群、そのなかでも巡回群とか余剰群とか対照群とかいろいろあります。はたして世の中にどういう群のパターンがあるのかをすべて調べて分類するという仕事に数学者はとりくみました。とりわけ、有限単純群というのを分類した。

サトウヒロシ @satobtc

8. 有限単純群は、規則的なものもたくさんあるのですが、まったくそうでなく、孤立したパターンをしめすものがあることがわかっています。その数は２３個。なぜそうなるのか、なぜ２３個なのかは謎で、神様にきくしかない。その２３個の群を全部明らかにするというのが群論の集大成

サトウヒロシ @satobtc

9. というかんじが群論なのです。ほかにも群ににたものとして、環（ring)や体(field)や、圏（category）とかがあります。英語だとわかりやすいが、日本語は意味不明。現在の代数学というのは、こういう抽象的な集合の性質を研究しているわけです。

サトウヒロシ @satobtc

10. 現代の代数学の教科書は抽象的すぎるので、教科書とかよむと最初っからハイパー抽象的で、１行もわかりません。あんまり読まないほうが身のためですｗｗ。そんなかんじで。