単項式順序の定義

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【単項式順序①】 まずは次の問題を考えるぶなっ！ 問題「x^5+3x^3+1 を x^2+x+1 で割り算する。これを筆算で計算せよ。」 みんなあああ！！紙とペンの準備はいいぶなかあああああっ！！！？？？ pic.twitter.com/2R8b6PdsMK

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【単項式順序②】 答えは画像の通りぶなっ！みんな計算できたぶなかっ？この一見なんとも思えない「筆算」の中にも「単項式順序」を考える重要な「３つのポイント」が隠れているぶなっ！今からそれを考えていくぶな汁ぶしゃあああ！！！ pic.twitter.com/U2h8C4TH6F

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【単項式順序③】 まずは「単項式をちゃんと並べることが出来ている」ことぶな！これは無意識に「x^5≧x^3≧1」という順序が頭にあるからぶな。こういう『元a,bがあるとき「a≧bまたはb≧a」が成り立つ』順序≧を「全順序」と呼ぶぶな pic.twitter.com/x6ttj7FM7a

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【単項式順序④】 次に「掛けても順番が変わってない」ことぶな！つまり多項式 x^2+x+1 に 単項式 x^3 を掛けても x^5+x^4+x^3 となり、x^2,x,1 の順にx^3を掛けたものをそのまま並べたものになっているぶなっ pic.twitter.com/4btkLWamxh

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【単項式順序⑤】 最後に、「出てくる多項式の次数がどんどん小さくなって最後止まっている」ぶな。すなわちx^5≧x^4≧x^3≧x^2≧xとなり、最後、xをx^2+x+1で割れない、つまりxより小さな多項式を作れないから止まっているぶな pic.twitter.com/ovwiuWDnb8

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【単項式順序⑥】 このように「a_1≧a_2≧a_3≧a_4≧…」としていくと、どこかでa_n=a_(n+1)=…となる（つまりある条件を満たすより小さなものを作れない）順序を「整列順序」と呼ぶぶなっ！ 実は、これらの３つの性質のおかげで、「多項式の割り算」が出来てるぶなっ！

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【単項式順序⑦】 例えば、特に重要なのは最後の性質で、これがあるから「筆算」が終わることが保証されているぶな。つまり、たとえ「x^10000000割るx^2+x+1」の筆算を考えても、出てくる多項式の次数はどんどん小さくなり、最後にx^2より小さくなって止まるから計算できるぶなね

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【単項式順序⑧】 今度は、多変数の単項式の中で順序を考えるぶな。ここでは簡単に２変数多項式環K[x,y]を考えるぶな。K[x,y]の単項式は、x^a*y^b (a,bは非負整数) で書けるぶなから、これをまとめてX^(a,b):=x^a*y^b と書くことにするぶな。

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【単項式順序⑨】 【定義】 次の条件を満たすK[x,y]の単項式の間の順序≧を「単項式順序」と呼ぶ。 ①全順序である ②X^(a,b)≧X^(c,d) ⇒ X^(a+e,b+f)≧X^(c+e,d+f) ③整列順序である ただし、a,b,c,d,e,fは非負整数。

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【単項式順序⑩】 ①の条件は、例えば、x^7*y^2 とx^3*y^10 という単項式があったとき、どちらが大きいか比較できるということぶな。これは、xを大事に見る単項式順序では「x^7*y^2≧x^3*y^10」になりそうぶなし、yが大事な単項式順序では逆向きになりそうぶなね

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【単項式順序⑪】 ②の条件は、もし 「x^7*y^2≧x^3*y^10」 が成り立っている時には、両辺にx^1*y^2を掛けたとしても、順番変わらず x^8*y^4=x^(7+1)*y^(2+2) ≧ x^(3+1)*y^(10+2) =x^4*y^12 が成立するということぶな

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【単項式順序⑫】 最後の条件は、さっき説明したから良さそうぶなね。このような一変数の時と同じような「単項式の順序」を２変数にも考えてあげると、同じように「割り算の筆算」が出来るようになるぶなっ！もちろん、一般のn変数にも同様に定義することができるぶなよっ！

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【単項式順序⑬】 ところで次の疑問が湧くブナね。 ・具体的にどんな順序が単項式順序なのか？ ・単項式順序は複数あるのか？ そんな疑問に明日の「単項式順序の例」で答えていきたいと思うぶなっ！

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【今日のまとめ】 「単項式順序とは、多変数多項式でも「割り算」ができるようにするための、単項式の間のいい感じの順序」 ぶなあああああああ！！！！！

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今日の参考文献は、おなじみ[1]の「グレブナ基底と代数多様体入門」ぶなっ！！ ちなみに、単項式順序ではない「変な順番」で割り算をすると、一生終わらない場合もあるからやってみるぶなよっ！例えば、xy^2+xy を x+xy で（この順番のまま）素直に割ってみるぶなっ！終わらない…

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もし、単項式順序を「え、ほんとに必要？」と思う人がいたら、「xy^2+xyをx+xy」でこの順番のまま筆算で割ってみると、いいぶなよっ！！おそらく、終わる気配どころか、どんどん次数が大きくなっていって、半泣きになるぶなよっ！ほんとに終わらないから絶対にやるなよっ！絶対だぞっ！

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ちなみに、それぞれの多項式を「とある単項式順序」で並べなおしてあげると、xy^2+xy と xy+x となり、実はxy^2+xy=y(xy+x)となって一発で筆算が終わるぶなよっ！興味がある人は、その前の並べ方だと単項式順序の「どの条件」が成り立っていないか確認するといいぶなっ！