火曜日生まれの男子の問題
ある母親には子供が2人います。その人に、「あなたは、火曜日に生また男のお子さんをお持ちですか?」と尋ねたところ、彼女は「はい」と答えました。このときに、もう1人の子供も男の子である確率を求めなさい。男女の生まれる確率は1:1で、どの曜日にも等確率で生まれるとします。(コメントを受けて、一部修正を加えました)
この問題がslashdotで取り上げられました。
http://slashdot.jp/science/article.pl?sid=10/07/01/0036229
by sr0000
まとめ
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子どもが二人いる。（少なくとも）一人は男で火曜日に生まれた。二人とも男である確率は？ http://www.stat.columbia.edu/~cook/movabletype/archives/2010/05/hype_about_cond.html -
@h_okumura p: 「両方男で少なくとも片方が火曜日生まれ」， q: 「男と女で男が火曜日生まれ」とすると p = (1/2)^2*(1-(6/7)^2)， q = 2*(1/2)^2*(1/7) なので p/(p+q) = 13/27。 -
残念ながら1/3ではありません。「火曜日」という情報で確率が変わります RT @sr0000: @h_okumura 1/3
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正解 RT @kos59125: @h_okumura p: 「両方男で少なくとも片方が火曜日生まれ」， q: 「男と女で男が火曜日生まれ」とすると p = (1/2)^2*(1-(6/7)^2)， q = 2*(1/2)^2*(1/7) なので p/(p+q) = 13/27。
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@h_okumura 13/27を図示すると、こういうことでしょうか。http://bit.ly/bt6Kya -
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RT @h_okumura: 正解 RT @kos59125: @h_okumura p: 「両方男で少なくとも片方が火曜日生まれ」， q: 「男と女で男が火曜日生まれ」とすると p = (1/2)^2*(1-(6/7)^2)， q = 2*(1/2)^2*(1/7) なので p/(p+q) = 13/27。 -
@h_okumura 正答を読んだあとも、自分で図を描いたあとですら、「曜日の情報は関係ない」という直感が否定できず、ずーーーっと考えてました。以下の考え方で合っていますでしょうか？
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@h_okumura 「両方とも男」の場合、どちらが火曜生まれでもよいので、49通りのうち36通りしか除外されない。一方、「男女ひとりずつ」の場合、女のほうが火曜生まれでもダメなので、42通りもの可能性が除外される。つまり、曜日の文言によって追加される【情報の重み】が異なる。
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@h_okumura 例え話：当たる確率13/49のくじか、7/49のくじか、好きなほうを選んで引いたら、実際に当たった。どっちのクジを選んだ確率が高いか？うぉ、尤度だ。ベイズ確率だ。
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.@h_okumura 直感が誤っていたことを他の方法で裏付けても、分かった気がしないですね。もとの直感のどこが誤っていたか、より直感的に説明できなければ。
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その通りですね。そもそも男女だけでもill-definedなところがあります RT @yuya_bonten: .@h_okumura 直感が誤っていたことを他の方法で裏付けても、分かった気がしないですね。もとの直感のどこが誤っていたか、より直感的に説明できなければ。
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改めて出題。子どもが二人いる。（少なくとも）一人は男で火曜日に生まれた。二人とも男である確率は？（「火曜日に」を聞かなかった場合の確率も求めてください）
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伝統的な解答は，火曜日という情報があれば13/27，なければ1/3ですが，直感とは矛盾するように見えます。
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子ども二人の親に「火曜日生まれの男の子をお持ちですか？」と聞いて「はい」の場合は，確率13/27でもう一人も男子。これは確実
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子ども二人の親に「男の子をお持ち？」→「はい」と，「男か女か答えてください。両方の場合はランダムにどちらかを」→「男です」とでは意味が違う。この問題は前者
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@h_okumura 面白いですね。曜日を日付に変えた場合ほぼ1/2の確率。「もう一人は月曜」だと1/2。「もう一人も火曜日」なら1/3。与えられた追加情報によって1/3と1/2の間を移動しますね。 -
はい，まさにそういうことです RT @pacuum: @h_okumura 面白いですね。曜日を日付に変えた場合ほぼ1/2の確率。「もう一人は月曜」だと1/2。「もう一人も火曜日」なら1/3。与えられた追加情報によって1/3と1/2の間を移動しますね。
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@h_okumura 考察してます。子供が二人いる親が、以下のうちのひとつを発言した。(A)一人は男。(B)上の子は男。(C)火曜生まれと金曜生まれがいて、火曜のほうは男。(C)一人は○×☆＃、もう一人は違う。○×☆＃なほうは男。
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@h_okumura もう一人も男である確率は、(A)だけ1/3、(B)(C)(D)はすべて1/2。子供を区別する方法は「上の子・下の子」である必要はない。この辺が「男女ですらill-defined」な一面でしょうか。
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@h_okumura 二人とも火曜生まれという（かなりレアな）場合を除き、「火曜生まれの男の子がいる」というのは、「火曜生まれとそうでない子がいて、前者は男」と言っているに等しい。つまり、（完全でないにせよ）二人のうちのどちらかを特定して述べている。だから1/2に近い値になる。
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@yuya_bonten そういうことだと思います。なお，問題のあいまいな点は12:47:40につぶやいた通りです（「男の子をお持ち？」→「はい」と，「男か女か答えてください。両方の場合はランダムにどちらかを」→「男です」とでは意味が違う）
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@h_okumura ご教授ありがとうございます。「二人の子供の一人を呼び寄せたら男だった」というのと「二人の子供の中に男の子が含まれていた」の違いですね。
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RT @h_okumura: 正解 RT @kos59125: @h_okumura p: 「両方男で少なくとも片方が火曜日生まれ」， q: 「男と女で男が火曜日生まれ」とすると p = (1/2)^2*(1-(6/7)^2)， q = 2*(1/2)^2*(1/7) なので p/(p+q) = 13/27。 -
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