長方形をなるべく少ない鋭角三角形に分割するには
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Polyhedrondiary
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{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
正方形を鋭角三角形に分割する問題，三角形の数を最も少なくするのはこの配置だそう。7個以下には分割できない。 Acute Square Triangulation ics.uci.edu/~eppstein/junk… p.twipple.jp/k4qtu
2015-09-01 21:48:21
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@Polyhedrondiary
さっきの図には二等辺三角形もあったけど，頂点位置には多少の揺れが許されるので，正方形を8個の「鋭角不等辺三角形」に分割することも可能。
2015-09-01 21:52:08
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@Polyhedrondiary
鋭角三角形とは言っても，8分割のものでは最大の角が85度くらいになってそれほど鋭い角ではない。正方形をもっと鋭い鋭角三角形に分割できないか，と考えて得たものが2種14個の鋭角二等辺三角形に分割するこれ。最大が72度のエレガントな解。 p.twipple.jp/lp1lV
2015-09-01 21:57:56
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@Polyhedrondiary
2種と書いたけど大きさ違うので3種14個かな。うち2種は相似。 正五角形から作った分割パターンというとこが面白い。
2015-09-01 22:00:46
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@Polyhedrondiary
無限個の三角形に分割すれば最大角をもっと小さく，60度まで減らせそう？ いやいや，正方形には90度の角があるので，ここに集まる三角形の角は最大45度。よって鋭角三角形の最大角は67.5度より小さくはできない。なのでこの解かなり優秀。 p.twipple.jp/lp1lV
2015-09-01 22:07:48
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@Polyhedrondiary
正方形を充填する鋭角三角形の最少個数は8個。条件を「鋭角二等辺三角形」と厳しくすると，10個のものが最少みたい。 今世紀の発見のわりには至ってシンプル p.twipple.jp/Tfmvy Square Dissection mathworld.wolfram.com/SquareDissecti…
2015-09-01 22:20:00
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@Polyhedrondiary
【数学パズル】長方形をなるべく少数の鋭角三角形に分割したい。正方形なら最少8分割だが，長方形の場合これをもっと減らせるだろうか。 p.twipple.jp/k4qtu twitter.com/Polyhedrondiar… この類題。 後程解答と証明を呟きます。
2015-09-02 20:55:14
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@Polyhedrondiary
答えは8個。正方形と同じになります。 一般に，長方形を鋭角三角形に分割する最少分割数は8。正方形を含む任意の長方形について，（二等辺に限らない）鋭角三角形への最少分割数は8になります。それほど正方形に近くない長方形なら，鋭角二等辺三角形への最少分割数も8。 以下，証明。
2015-09-02 22:31:09
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@Polyhedrondiary
長方形の4つの頂点には必ず2つ以上の三角形が集まらなければならないから，少なくとも4分割は必要なことは，すぐわかりますね。 pic.twitter.com/P8mEsxvenT
2015-09-02 22:33:37
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@Polyhedrondiary
で，長方形の内部に三角形の頂点Ｘがあることになりますが，そこには①5つ以上の三角形の頂点が集まっているか，②3つ以上の三角形の頂点と，1つの三角形の辺が来ている必要があります。そうでないと直角や鈍角ができちゃうので。 pic.twitter.com/oqAtGSEtgL
2015-09-02 22:35:24
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@Polyhedrondiary
①の場合，Ｘから伸びる5本の辺がすべて長方形にぶつかるとすると，少なくとも1つは長方形の辺にぶつからざるを得ません。するとそこには鈍角か直角が現れてしまうので，長方形内部にもう1つの頂点が必要。それも①の場合は分割数8になります。 pic.twitter.com/DCxb4HuWXI
2015-09-02 22:40:32
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@Polyhedrondiary
Ｘが②の場合，Ｘに辺が来る三角形をＡ，頂点が来る三角形を時計回りにＢ，Ｃ，Ｄとすると，Ａが鋭角三角形であるためには，Ａの残り2辺のどちらかは長方形の辺と一致しません。よってＡの頂点の少なくとも1つＹは長方形内部にあります。 pic.twitter.com/iOOppCKqmS
2015-09-02 22:43:14
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@Polyhedrondiary
①の場合はＹにＡ，Ｄのほか3つの三角形Ｅ，Ｆ，Ｇが来ます。ここで，ＣＢ，ＢＡ，ＡＧ，ＧＦ，ＦＥの境界線がすべて長方形の輪郭まで伸びると仮定すると，すべての境界線が長方形の頂点に伸びることはなく（鳩の巣原理）， pic.twitter.com/cKq9Xs5yNh
2015-09-02 22:46:49
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@Polyhedrondiary
少なくとも1つは長方形の辺に伸びざるを得ません。するとそこに鈍角か直角が現れてしまうので，矛盾が出ます。よって更なる長方形内部の頂点が必要ということが分かります（背理法）。つまりＡ～Ｇの7分割では不足で，少なくとも8分割は必要ということ。
2015-09-02 22:48:48
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@Polyhedrondiary
頂点Ｙが②の場合，ＹにＡ，Ｅの頂点とＤ又はＦの辺又は頂点が集まっています。 Ａ，Ｅ，Ｆの頂点とＤの辺が集まっている場合，ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＥ，ＥＦ，ＦＡの境界線のうちすべてが長方形の頂点に伸びることはありません。 pic.twitter.com/iUkBbuAJG8
2015-09-02 22:51:00
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@Polyhedrondiary
更なる内部頂点がないとすると，6本の境界線のうち少なくとも2つは長方形の辺に伸びざるを得ず，そこに鈍角か直角が現れてしまうので，更なる長方形内部の頂点が必要（先と同様の議論）。この頂点は①②どちらの場合も更に2つ以上の三角形をもたらすから，少なくとも8分割必要ということに。
2015-09-02 22:53:10
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@Polyhedrondiary
場合分け，これで最後です。Ａ，Ｄの頂点にＥ，Ｆの一方の辺と他方の頂点が来ている場合。辺の来る方が鋭角三角形であるためには，残り2辺の少なくとも一方は長方形の辺と一致せず，Ｅ又はＦの頂点の少なくとも1つＺは長方形内部にあることに。 p.twipple.jp/2LwlE
2015-09-05 07:51:30
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@Polyhedrondiary
この頂点Ｚは①②どちらの場合も更に2つ以上の三角形をもたらすので，これも少なくとも8分割必要。 結局，長方形内部には最低2個の頂点が必要で，そのタイプが①①の場合は8分割が実際に構築可能。①②と②②の場合も8分割必要，ということで最少分割数は8であることが証明できました。
2015-09-02 22:59:02
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@Polyhedrondiary
ただ，②が混じる場合に8分割はどうも無理そうなので，もっと簡単な証明もありそうですね。お気づきの方は，ぜひ教えてください。
2015-09-02 23:01:59
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@Polyhedrondiary
長方形の鋭角三角形分割。まとめると，グラフとしては，正方形の鋭角三角形8分割と同じパターンの8分割が最少分割で，正方形以外ではより対称性が高い解がある，ということになります。 p.twipple.jp/k4qtu pic.twitter.com/UYo5SuXsgu
2015-09-02 23:56:00
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@Polyhedrondiary
長方形の鋭角三角形分割，あそびをせんとやさんのサイトで見たのがきっかけでした。 正方形の鋭角二等辺三角形分割を自力でやっておられ，その思考過程が辿れるのでぜひ御一読を。8/22以降の記事です。 以前の「ひとこと」2015年8月後半 lcv.ne.jp/~hhase/memo/m1…
2015-09-03 08:30:14