圏論での積分(エンド)について

V-alg-d（ZZ） @alg_d

エンドの普遍性から、(必要なエンドが存在するという仮定の下で) ∫_x∫_cT(c, c, x, x) = ∫_{c,x}T(c, x, c, x) が分かります。(=は圏Dでの同型です)

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証明している図 #たのしいけんろん pic.twitter.com/3OLGCMExwq

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特に、 ∫_x∫_cT(c, c, x, x) = ∫_{c,x}T(c, x, c, x) = ∫_c∫_xT(c, c, x, x) となって、二重積分が交換できることが分かります。

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エンドは普遍性を使って定義しましたが、実はエンドは極限を使って書けます。

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つまり、関手F_Tを考えることで、 ∫_cT(c, c) = lim F_T とできます。

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つまりエンドとは極限です。極限は Hom(d, -)と交換するので、エンドも交換することが分かります。つまり Hom(d, ∫_cT(c, c)) = ∫_cHom(d, T(c, c))

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一方、エンドの双対としてコエンドもあります。コエンドは、 T: C^op×C→D に対して T から e へのcowedgeを同様に定義して、普遍性を持つcowedgeとして定義します。

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コエンドは∫^{c∈C}T(c, c)で表します。コエンドは余極限側の存在なので Hom(∫^{c∈C}T(c, c), d) = ∫_cHom(T(c, c), d) となります。

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そろそろエンド、コエンドは何に使うのか? という話をしますと、これらは「自然変換の計算」に威力を発揮します。

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圏論で一番重要なのは自然変換の計算(自然変換の合成の計算)でしたね twitter.com/alg_d/status/7…

V-alg-d（ZZ） @alg_d

圏論で一番重要なのは、やはり自然変換の合成だと思うんです。

2016-04-23 04:19:32

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(こまった、Kan拡張を出さないと話が先に進まないな… #全ての概念はKan拡張である )

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まあいいや

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圏 C が有限完備だとします。つまり、有限直積とか終対象くらいは持っているとします。すると c∈Cに対して、右から直積する関手 -×c: C→C を考えることができます。

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これが右随伴を持つとき、Cはカルテシアン閉であるといいます。

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これは、言い換えると、 d∈Cに対して「x∈C について自然な全単射 　Hom(x×c, d)=Hom(x, Gd)　 が成り立つような対象Gdが取れる」ことを意味します。

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このGdをexponential objectといって、d^cなどと書きます

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例えば C = Set の場合、d^cは集合の冪 d^c と一致します。

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さて、Cを圏としたとき C^ := Set^{C^op} はカルテシアン閉となります。これを示してみます。まず C^ は有限完備であることを気を付けておきます。

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示すべきことは、P, Q∈C^ を取ったとき、X∈C^ に対して自然に Hom(X×P, Q) = Hom(X, Q^P) となるようなQ^P∈C^ が存在する、ということです。

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ここで、もしそのようなQ^Pが存在したとすれば、X = y(c) := Hom(-, c) と取って米田を使えば 　Hom(y(c)×P, Q) = Hom(y(c), Q^P) = Q^P(c)　 となるので、Q^P(c) = Hom(y(c)×P, Q) でなければならない。

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そこで Q^P(c) = Hom(y(c)×P, Q) と定義して 　Hom(X×P, Q) = Hom(X, Q^P)　 を示します。

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ここでエンドが使えるわけです。つまり、自然変換の集合 Hom(X×P, Q) と Hom(X, Q^P) を計算してこれらが一致していれば良いわけですが、この計算にエンドが使えます。

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計算したものがこちらとなります。 pic.twitter.com/ovtDCoJsCB

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1行目で、まずC^でのHom(=自然変換の集合)をエンドに直します。 2行目はQ^Pの定義です。 3行目、するとまたC^でのHomが現れるのでエンドに直します。 4行目、エンドはHomと交換するので一番前に出せます。

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5行目はSetがカルテシアン閉であるということです。 6行目でFubiniにより、積分を交換します。 あとは、積分を順番に計算していくだけです。