確率に関するやりとり

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@sekibunnteisuu 「『……なら直接そう書くべき』いう考え方」とは、固定的な言い換えを常用するのではなく、きちんと状況を書くか、それが嫌なら陽に「条件付確率を求めよ」と書くべき、という考え方を指しています。これは積分定数さんのご意見に近いのではないでしょうか。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@sekibunnteisuu 私自身、条件付確率の理解に苦労しましたが、「『状況が自然に想像できるかどうか』といったことを捨象して、とにかく特定の情報が（なぜか）得られている状態」というものを想像できるようになって初めて腑に落ちました。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@sekibunnteisuu そういう経験があるので、チャートのような問題文は不備よりもむしろ到達すべき境地のように映ったのでした。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@sekibunnteisuu しかし、「なんとか自然な状況を想像してみる」といった試行錯誤をすっ飛ばして、定型文に反応して条件付確率の計算を機械的に適用するようになってしまうとまずいというのも大いに賛同するところです。

積分定数 @sekibunnteisuu

@y_bonten 　問題解く側がそのような境地に達するのと、出題者がそのような達するべき境地の抽象化した問題文を出すことは異なると思います。

積分定数 @sekibunnteisuu

@y_bonten　「境地」というのは、「コインを3枚投げて少なくとも1枚は表の確率」と「コインを３回投げて少なくとも1回は表の確率」、これが全く同じ問題に見えることだと思いますが、だからといって問題文を「コインを３投げて少なくとも１は表の確率」とすることはないでしょう。

積分定数 @sekibunnteisuu

@y_bonten twitter.com/y_bonten/statu…　これに関しては、状況を書くべきだと思いますが、「条件付確率を求めよ」と書くのには反対です。「条件付き確率」という言葉も特別な定理も知らなくても、条件付き確率の問題は解くことが出来るし、そうあるべきだと思います。

積分定数 @sekibunnteisuu

@y_bonten twitter.com/sekibunnteisuu…　この問題も、塾で実際に出すときは、試行を行う人を見ていて、サイコロの目やどちらの袋から取り出したのかは分からなくて、取り出した玉だけが見えた、だとか、

積分定数 @sekibunnteisuu

@y_bonten Ａには赤玉2個・白玉１個　Ｂには赤玉１個・白玉2個入っている。 サイコロを1個ふって目が偶数ならＡから１個、奇数ならＢから１個取り出す。 取り出した玉が赤玉だったとき、サイコロの目が奇数である確率は？

2016-10-30 19:38:32

積分定数 @sekibunnteisuu

@y_bonten 　大勢の人を集めて一斉にこの試行をしてもらって、赤玉を取り出した人に挙手してもらって無作為に１人指名して、・・・、と状況を説明するようにしています。

積分定数 @sekibunnteisuu

@y_bonten 「サイコロの目が奇数だったときに赤玉を取り出す確率」という具合に、時系列で先に起きた方を情報として与えて、後に起きることの確率はそれほど説明はいらないし、正答率もいいのですが、後に起きたことから先に起きたことの確率を求める問題は苦労するようです。

積分定数 @sekibunnteisuu

@y_bonten それで例えば、大勢で試行してもらって、カードの表にサイコロの目が偶数か奇数かを書き、裏に取り出した玉の色を書いてもらい、集める。【無作為に１枚選んで表を見たら「偶数」と書いてあった。この裏に「赤」と書いてある確率は？】

積分定数 @sekibunnteisuu

@y_bonten 【無作為に１枚選んで裏を見たら「赤」と書いてあった。表に「赤」と書いてある確率は？】などと出題して、両者が原理的には同様の問題であることを理解してもらいます。それで最終的にベイズの定理とかいう境地に達してほしいわけです。

積分定数 @sekibunnteisuu

@y_bonten だから、挙手した中から無作為に指名するとか、カードを無作為に取り出すというのと同様のことになっている問題文が望ましいと考えています。

積分定数 @sekibunnteisuu

@y_bonten カードの説明は、裏に「赤」というカードだけを全部集めて、そこから無作為に1枚取り出す、と言う方がわかりやすいかもしれない、と今気づいた。

proper_TAJIRI @proper_TAJIRI

@y_bonten よくよく考えてようやく分かりました。扉がn枚として、選ばなかったうち一枚だけ残してランダムに開けてなお、当たりが出なかった場合は、選ばなかった扉の当たり確率は1/n→1/2 必ず当たりを避けるように開けていたら1/n→(n－1)/n になるんですね。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@proper_TAJIRI はい、その通りだと私も理解しています。そのうえで、「司会者は当たりを避けているが、それを知らない人にとっての確率」を1/2とするのは妥当かな？という疑問を持っていました。

proper_TAJIRI @proper_TAJIRI

@y_bonten 私なら、知らない人にとっては｢最低1/2で最高(n－1)/n｣という風に表現したいと思います。司会者が必ず「選ばなかった扉のうち一枚だけ残して扉を変更しても良いですよと言う」場合（この事を挑戦者が知ってるかどうかは問わない。）に限りますが。

proper_TAJIRI @proper_TAJIRI

@y_bonten さらに言うと、変えなかった場合は当たり率が1/nから1/2まで、変えた場合は1/2から(n－1)/nまで。なので、司会者の心理戦略を疑わない場合は、扉の開き方がランダムであろうとなかろうと、変えた方がよりお得なんですね。

積分定数 @sekibunnteisuu

@GreatDemon1701 @y_bonten 　しかし条件付き確率というのは、後に起こったことから、前に起こったことを推測することや、医療検査での偽陽性など、生活に結びついているとも言える。

積分定数 @sekibunnteisuu

@GreatDemon1701 @y_bonten 目が偶数だったときの赤玉の確率も、赤玉だったときの目が偶数の確率も、同様に求めることが出来るはずなのに、塾の生徒の様子を見ると、前者はすんなり解けるのに後者は四苦八苦する。 twitter.com/sekibunnteisuu…

積分定数 @sekibunnteisuu

@GreatDemon1701 @y_bonten 　時系列に従って、ある事象が起きたら、そこから先、どういう確率で各事象が起こるのかは容易に考えられるけど、後に起こったことから、先に起こったことの確率を推測するのが難しいのはなぜだろうか？

積分定数 @sekibunnteisuu

@GreatDemon1701 @y_bonten 小学校の時、火災報知器が誤作動することが何度かあった。なっても「また誤作動だろうな」と思って、実際そうだった。防災意識からするとこういう正常化バイアスはよろしくないが、条件付き確率を定性的に理解していたとも言える。

積分定数 @sekibunnteisuu

@GreatDemon1701 @y_bonten 　そもそも、学校が火事になることは滅多にない。小学校か中学校でぼや騒ぎがあったような記憶もあるし、私自身自宅が落雷で全焼しているので、滅多にないことはないのかもしれないが、話の都合上滅多にないとしておく。

積分定数 @sekibunnteisuu

@GreatDemon1701 @y_bonten 火災報知器が鳴ることは、頻繁ではないけど、たまにある。であれば、火災報知器が鳴ってもほとんどは火事ではない、と判断するのは妥当。これは防災意識からしたら正常化バイアスは危険。

積分定数 @sekibunnteisuu

@GreatDemon1701 @y_bonten 　だから、条件付き確率、特に事後から事前の確率を求める場合に関しても、直観に反するようなものではないと思うけど、難しいという人が多いですね。１つの要因として、問題文の状況設定のわかりやすさもあるのかな？と思った次第です。