SL(2,Z) と双曲空間についての議論まとめ

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 地球の地図を描くと図法によってところどころ歪んで見える、って話を思い出しましたw

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter 宇宙をユークリッド空間と見ると光がブラックホールの近くで曲がってるように見えるけど、双曲空間と見れば測地線を真っ直ぐ進んでるだけ、というようなことだそうです！（多分

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter あ、それと同じだと思います。僕らは球面幾何の上で生きてるので、ユークリッド平面に射影されると距離が変わってしまうんです。

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 双曲平面のイメージがわいたところで元の図の話に戻ると「基本領域の境界は、双曲平面上の直線（つまり測地線）」ってことであってます？

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter そうです！上半平面だと実軸に直交する半円と半直線、円板だと円周に直交する円と直径が測地線（最短距離の道）です。

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter 基本領域は双曲平面を埋め尽くすための三角形タイルみたいなものだと思います。

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 あー！！色々つながってきて五月雨的質問で申し訳ないですが、もしかしてWikipediaの「ポアンカレ計量」の「平面から円板への等角写像」ってところの具体的な例が今回の「ケーリー変換」ってことですかね！

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter ですです！

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 なるほど！！いろいろ繋がってきてめっちゃ面白いです！！　早速「ポアンカレ円板を〜」に変えたいところですが、１点気になる点が。今回のアプリでは、円板から円板の別の領域に対してS, Tで渡っていくわけですが、この場合の変換はSL(2,Z)の元ではないですよね？

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 続き）ボタンの上に S, T と具体的な変換行列を書いてしまっていますが、これがそのままで良いのかどうかが気になります。

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter ちょっと怪しくなってきましたw ちょいと調べます！w

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter 円板から上半平面に移して、作用をかけて、また円板に戻したものの合成が何になってるか調べればいけるはずです（いま風呂入ってるんであがったらやりますw）

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 ありがとうございます！w ここらへんはまさに佐野さんお得意の「線形代数」と「複素関数」ですね！ww

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter いやぁ、学生時代は訳分からなかったですw ようやく最近そういうことだったのかな？ぐらいに見えてきましたw

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 一応自分でも計算してみたのですが、何やらよく分からない解釈不能な行列が出てきてしまいました… もちろん、計算間違いの可能性は否定できません…笑 pic.twitter.com/XNiWQsOMBB

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さのたけと @taketo1024

@tsujimotter あ、同じのを T でやって「ふーむ」ってなってましたw でもよく考えたら T は平行移動なんで、そのまま作用させたら円からはみ出ちゃうからダメですね。Sは丸ごと外に飛び出しちゃうw

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 そうなんですよねー。かといって、ボタンを S, T じゃないナゾの行列で書くのもブログの中身と整合性とれなくて気持ち悪い。ということをもにょっと考えて、次のような妥協案にしてみましたw tsujimotter.info/works/fundamen…

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 続き）方針としては、基本領域に対して S,T で作用させていくのだけど、表示はケーリー変換したものを表示しています、その変換した先は「ポアンカレ円板」といいますよ、という感じです。どうでしょう？

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter いいと思います！多分 T, S は上半平面にとって分かりやすい変換で、ポアンカレ円板用にはもっといいのがあるんじゃないかと…w → 「ポアンカレ円板のタイリングは、モジュラー群の下に不変であるJ-不変量により自然な方法で与えられ…」

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 ありがとうございます！「自然な方法で与えられ」って表現がうまく丸め込んでいてずるいですねw　いやー、なかなか数学的に正確に話そうと思うと難しいですねえ。。。

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter ずるいですねw 明日 @matsumoring さんが色々教えてくれることを期待してます！w

さのたけと @taketo1024

なるほど、4時じゃねぇの。

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 はいw それにしても今回の議論で相当理解が深まりました！昔、フェルマーの最終定理の動画を観てて、保型形式の説明があったのですが、双曲空間に入ればわかるみたいな話でw。動画観たときは全く意味不明だったんですけど、さっきの話でそういうことだったのかと！

さのたけと @taketo1024

@tsujimotter あれっ、もしかしてこれが答えなんじゃw → RT @matsumoring: 円板に一次分数変換で作用する行列は(p*,q*,q,p)∈SL(2;C)でp,qがGauss整数のはずです。

tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter

@taketo1024 これって、円板から円板じゃなくて、上半平面で SL(2,Z) の変換をかけてから円板に映した変換のことだと理解してました。それなら手計算とも合いますし。。 @matsumoring