問題: x^2+1が平方数になる整数xはx=0だけか？
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tune3orz※地震に警戒
@tune3orz
2*x^2+1=y^2 を満たす整数x,yが存在したとする。 左辺が奇数なので、右辺も奇数。 y=2*Y+1とおくと、 x^2 = 2*Y*(Y+1) 右辺が偶数なので、左辺も偶数。 x=2*Xとおくと、 2*X^2 = Y*(Y+1) (続く?)
2015-04-20 23:40:35
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@tune3orz
2*x^2+1=y^2 を満たす整数x,yが存在したとする。 2*x^2 = (y+1)(y-1) 2*(x+2)(x-2) = (y+3)(y-3) と変形できることから、 (x,y)=(0,±1),(±2,±3) が解であることはわかる。これ以外の解を探す。 (続く?)
2015-04-21 02:28:53
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@tune3orz
2*X^2 = Y*(Y+1) の解としては、(X,Y)=(0,0),(1,1)がすぐ見つかるが、(6,8)も解である。 元の方程式 2*x^2+1=y^2 に当てはめると、(x,y)=(0,1),(2,3),(12,17)に相当する。
2015-04-21 04:39:55
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@tune3orz
ちなみに、 2*x^2+1 = y^2 は変形すると、 2*x^2 - y^2 = -1 だから、x,y平面上の図形として考えると、双曲線になる。漸近線は、 y = ±√2 x
2015-04-21 11:15:35
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@tune3orz
2*X^2 = Y*(Y+1) もしかして、(X,Y)=(12*17, 17^2-1)も解なのかな？ これは無限に解が生成されるパターン？
2015-04-21 11:39:07
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@tune3orz
reading: ディオファントス方程式 - Wikipedia ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87…
2015-04-21 13:05:33
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reading: ペル方程式 - Wikipedia ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A…
2015-04-21 13:05:44
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@tune3orz
reading: 青空学園数学科 > ペル方程式の解の構造 aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node70.…
2015-04-21 22:39:27
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@tune3orz
reading: ペル方程式に関する基本的な性質まとめ | 高校数学の美しい物語 mathtrain.jp/pell
2015-04-21 22:49:28
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reading: 私的数学塾 > ペル方程式 www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pell/p…
2015-04-21 22:54:04
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@tune3orz
reading: Ikuro's Home Page > コラム「閑話休題」> ペル方程式に帰着される問題 geocities.jp/ikuro_kotaro/k…
2015-04-21 23:01:03
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reading: Ikuro's Home Page > コラム「閑話休題」> ミハイレスクの定理 geocities.jp/ikuro_kotaro/k…
2015-04-21 23:39:17
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@tune3orz
2*x^2+2=y^2 変形すると、 2*(x^2+1) = y^2 これを満たす整数(x,y)は、ペル数列より得られ、 (x,y)=(1,2),(7,10),(41,58),… と続く。
2015-04-23 00:19:32
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@tune3orz
2*x^2+3=y^2 8を法とする剰余で見ると、 左辺のとりうる値は{3,5}、 右辺のとりうる値は{0,1,4}であり、 共通する要素がない。 よって、これを満たす整数(x,y)は存在しない。
2015-04-23 00:32:02
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@tune3orz
2*x^2+4 = y^2 これを満たす整数(x,y)としては、 (x,y)=(0,±2),(±4,±6) がすぐ見つかる。他にはあるだろうか？
2015-04-23 00:47:13
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@tune3orz
2*x^2+4=y^2 左辺は偶数。 右辺も偶数となるためには、yは偶数でなければならぬ。 yが偶数のとき、右辺は4の倍数となる。 左辺も4の倍数となるためには、xも偶数でなければならぬ。 x=2*X, y=2*Yとおくと、 2*X^2+1=Y^2 既出の問題に帰着された。
2015-04-23 00:59:29
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@tune3orz
2*x^2+5=y^2 8を法とする剰余で見ると、 左辺のとりうる値は{5,7}、 右辺のとりうる値は{0,1,4}であり、 共通する要素がない。 よって、これを満たす整数(x,y)は存在しない。
2015-04-23 01:02:57
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@tune3orz
2*x^2+6=y^2 2*(x^2+3)=y^2 左辺は偶数。 右辺も偶数となるためにyは偶数でなければならぬ。 yが偶数のとき右辺は4の倍数となる。 左辺も4の倍数となるためにxは奇数でなければならぬ。 x=2*X+1, y=2*Yとおくと、 2*(X^2+X+1)=Y^2
2015-04-23 01:18:10
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@tune3orz
2*(X^2+X+1)=Y^2 8を法とする剰余で見ると、 左辺のとりうる値は{2,6}、 右辺のとりうる値は{0,1,4}であり、 共通する要素がない。 よって、これを満たす整数(X,Y)は存在しない。
2015-04-23 01:22:34
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reading: 不定方程式の解き方６パターン | 高校数学の美しい物語 mathtrain.jp/diophantus
2015-04-24 00:18:06
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reading: ルジャンドル記号とオイラーの規準 | 高校数学の美しい物語 mathtrain.jp/criterion
2015-04-24 00:22:42
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reading: 整数論のテクニック：平方数でないことの証明 | 高校数学の美しい物語 mathtrain.jp/heiho
2015-04-24 00:24:17