問題: x^2+1が平方数になる整数xはx=0だけか？

tune3orz※地震に警戒 @tune3orz

2*x^2+7=y^2 これを満たす整数(x,y)ですぐ見つかるものは、 (x,y)=(1,3),(3,5) 他にないだろうか？

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2*x^2+7=y^2 左辺は奇数。右辺も奇数となるためにはyは奇数でなければならぬ。 y=2*Y+1とおくと x^2+3=2*Y*(Y+1) 右辺は4の倍数。左辺も4の倍数となるためにはxは奇数でなければならぬ。 x=2*X+1とおくと 2*(X^2+X+1)=Y*(Y+1)

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2*(X^2+X+1)=Y*(Y+1) これを満たす整数(X,Y)ですぐ見つかるものは、 (X,Y)=(0,1),(1,2),(4,6),(9,13) 他にあるだろうか？

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2*(X^2+X+1)=Y*(Y+1) 左辺の括弧の中は奇数であるから、左辺はは4で割って余りが2。 右辺もこれを満たすためには、yは4で割って 余りが1または2でなければならぬ。

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1)Y=4n+1の場合 X^2+X+1=(4n+1)(2n+1) X(X+1)=2n(4n+3) 2)Y=4n+2の場合 X^2+X+1=(2n+1)(4n+3) X(X+1)=2(n+1)(4n+1)

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2*x^2+1=y^2 (0,1),(2,3),(12,17), 2*x^2+2=y^2 (1,2),(7,10),(41,58), 2*x^2+4=y^2 (0,2),(4,6),(24,34), 2*x^2+7=y^2 (1,3),(3,5),(9,13),(19,27),

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2*X^2=Y*(Y+1) (0,0),(1,1),(6,8),(12*17,17^2-1), 2*X*(X+1)=Y^2 (0,0),(1,2),(8,12), 2*X^2+1=Y^2 2*(X^2+X+1)=Y*(Y+1) (0,1),(1,2),(4,6),(9,13),

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reading: ペル方程式の解の構成 aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node75.…

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reading: 二次体 - Wikipedia ja.m.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C…

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reading: [pdf] 不定方程式研究の現状の紹介 kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuro…

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二次体の世界から眺めたら解けることは理解できるが、それを使わずに整数の世界だけで解けるようなそんな理論がほしい。

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ふと気がついたが、 丸○を正三角形状に配置すると三角数、 丸○を正方形状に配置すると平方数になるが、 正三角形△を正三角形状に配置すると平方数になるんだな。

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相似形で辺の長さが1/2になれば面積は1/4になるから、数は4倍になるのは当たり前ではあるんだが。

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reading: パリティ (パズル) - Wikipedia ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91…

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reading: Weekend Mathematics > 問題131 マス目の問題 junko-k.com/mondai/mondai1…

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2*x^2+7=y^2 を満たす整数(x,y)を(x1,y1),(x2,y2),…と表すと 2*x1^2+7=y1^2 2*x2^2+7=y2^2 辺々引くと定数項が消えて 2*(x2+x1)(x2-x1)=(y2+y1)(y2-y1) この関係式は任意の定数項について成り立つ。

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2*x^2+8=y^2 を満たす整数(x,y)ですぐ見つかるものは(2,4)。他にあるか？ 左辺は偶数。右辺も偶数となるためにyは偶数でなけらばならぬ。 y=2*Yとおくと x^2+4=2*Y^2 右辺は偶数。左辺も偶数となるためにxは偶数でなければならぬ。 x=2*Xとおくと

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2*(X^2+1)=Y^2 左辺は偶数。右辺も偶数となるためにはYは偶数でなければならぬ。 Y=2nとおくと、 X^2+1=2*n^2 右辺は偶数。左辺も偶数となるためにはXは奇数でなければならぬ。 X=2m+1とおくと、 2m(m+1)+1=n^2

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2m(m+1)+1=n^2 左辺は奇数。右辺も奇数となるためにはnは奇数でなければならぬ。 n=2N+1とおくと、 m(m+1)=2N(N+1) (m,N)=(0,0),(3,2)はこれを満たす。他にあるか？

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あ、 2*(X^2+1)=Y^2 2*X^2+2=Y^2 だから、既存のパターンに帰着されてた。

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2*x^2+8=y^2 両辺の偶奇性が一致するためには、yおよびxはともに偶数でなければならぬ。 y=2*Y, x=2*Xとおいて辺々4で割ると、 2*X^2+2=Y^2 既出のパターンに帰着された。

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2*x^2+9=y^2 両辺の偶奇性が一致するためには、yは奇数、xは偶数でなければならぬ。 y=2Y+1, x=2Xとおいて変形すると、 2*X^2+2=Y(Y+1)

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2*X^2+2=Y(Y+1) X^2 = Y(Y+1)/2 - 1 (X,Y)=(0,1),(3,4)がこれを満たすことはすぐわかるが、他に解はあるだろうか？

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reading: 行列でスマートに計算を減らそう！ codeiq.jp/q/1521 via @codeiq

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reading: ディオファントス近似 - Wikipedia ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87…